Fonction

Comparaison, mesure de masses.

Description

Une pièce mobile, le fléau, peut tourner autour d’un axe horizontal concrétisé par l’arête d’un prisme d’acier appelé couteau. Ce couteau, solidaire du fléau, repose sur un dièdre solidaire d’une colonne support. Aux extrémités A et B du fléau sont fixés deux autres couteaux dont les arêtes sont tournées vers le haut. Ces arêtes servent d’axes de rotation pour deux plateaux qui y sont suspendus de telle sorte qu’à l’équilibre, et quelle que soit l’inclinaison du fléau, les axes des torseurs poids passent par les arêtes correspondantes (A et B).

 

Les trois arêtes doivent être dans un même plan. Le centre de gravité du fléau étant en dessous de l’arête centrale, le poids du fléau fournit un moment de rappel qui s’annule lorsque le fléau est à l’horizontale, position repérée grâce à une aiguille, solidaire du fléau, et se déplaçant devant un cadran gradué. Lorsque AB est horizontal et qu’il y a équilibre, les moments des poids exercés sur les plateaux, par rapport à l’arête, sont égaux et, si les «bras de levier» (distance des arêtes A et B à l’arête centrale) sont égaux, alors les poids, donc les masses, sont égaux. Lorsqu’il en est ainsi la balance est dite «juste».

Mais on peut utiliser une balance non juste (à bras de levier inégaux) par une méthode de double pesée (de Borda ou de Gauss). Il est alors essentiel que la balance soit fidèle : les mêmes masses dans les mêmes plateaux (mais disposées différemment) doivent produire le même équilibre. Une cause de non fidélité peut être une mauvaise mobilité des plateaux: l’axe de la pesanteur ne passant pas par l’arête de suspension mais à distances variables de cette arête. Enfin, un équilibre étant obtenu avec une masse m, la plus petite surcharge s dont l’addition à un plateau produit une modification tout juste sensible, de l’équilibre caractérise la «sensibilité» de la balance. En général s et m varient dans le même sens.

Double pesée de Gauss

On procède ainsi : on place d'abord la masse m dans le plateau de gauche et on réalise l'équilibre avec une masse m1 dans le plateau de droite ( m l1 = m1 l2), puis on place lamasse m dans le plateau de droite et on réalise l'équilibre avec une masse m2 dans le plateau de gauche ( m2 l1 = m l2) d’où m2= m1 m2 .

Double pesée de Borda

On réalise deux opérations pour lesquelles une tare de masse T est placée sur un plateau; sur l’autre plateau, on place la masse m et on complète par une masse m1 pour obtenir l’équilibre. Soit l1 et l2 les bras de levier, la condition d’équilibre s’écrit :

Tl1 =(m+m1)l2 .

Dans la deuxième opération on retire l’objet de masse m, et on équilibre en plaçant sur le même plateau une masse m2; la condition d’équilibre devient : Tl1 = m2 l2 . On en déduit m= m2-m1.

 

 

 

Histoire

Faire l’histoire de la balance est hors de notre compétence, sans doute remonte-t-elle aux premières transactions commerciales entre les hommes. La balance étant un «levier du premier genre», sa théorie s’apparente à celle des leviers que l’on doit au génial Archimède de Syracuse (-287, -212).

On aura une idée (un peu vague!) de l’ancienneté de notre balance en comparant celle-ci, à celle que représente Ganot dans son Traité élémentaire de physique paru en 1862.

Jean-Charles de Borda (1733-1799) était mathématicien, physicien et marin. Il fit des recherches en balistique, notamment sur la résistance de l’air. Puis il étudia la résistance des fluides. Avec Delambre et Méchain, il participa à la mesure d’un arc méridien et inventa à ce propos le cercle répétiteur (Mes1-7).

Il essaya, en mer, les premiers chronomètres de Pierre Leroy, fils du célèbre horloger Julien Leroy.

L’immensité de l’œuvre de Cal Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, rend presque ridicule qu’on le cite ici, à propos d’une pesée (fusse-t-elle double!).

  • En mathématiques : théorie des nombres, congruences, formes quadratiques, construction de certains polygones réguliers, fonctions eulériennes, fonctions elliptiques...

  • En astronomie, il fit des études de mécanique céleste (méthode de calcul des éléments d’une orbite planétaire).

  • En physique : théorie des erreurs (1821), méthode des moindres carrés, courbe de Gauss, en magnétisme et électricité (magnétomètre, théorème de Gauss, magnétisme terrestre...) en optique (approximations de Gauss, théorie des systèmes centrés)...

 

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